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47.第 47 章(1/2)

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母a、b、c、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合a中的元素,就说a属于a,记作:a∈a,否则就说a不属于a,记作:a a。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作n

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作n+或n+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作r。

集合的表示方法

⑵ 、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合

⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集:一般地,对于两个集合a、b,如果集合a中的任意一个元素都是集合b的元素,我们就说a、b有包含关系,称集合a为集合b的子集,记作a b(或b a)。。

⑵相等:如何集合a是集合b的子集,且集合b是集合a的子集,此时集合a中的元素与集合b中的元素完全一样,因此集合a与集合b相等,记作a=b。

⑶、真子集:如何集合a是集合b的子集,但存在一个元素属于b但不属于a,我们称集合a是集合b的真子集。

⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ,并规定,空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

①、任何一个集合是它本身的子集。即a

②、对于集合a、b、c,如果a是b的子集,b是c的子集,则a是c的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素组成的集合称为a与b的并集。记作aub。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

即aub={x|x∈a,或x∈b}。

⑵、交集:一般地,由所有属于集合a且属于集合b的元素组成的集合称为a与b的交集。记作anb。

即anb={x|x∈a,且x∈b}。

⑶、补集:

①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作u。

②补集:对于一个集合a,由全集u中不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集。简称为集合a的补集,记作cua。

即cua={x|x∈u,且x a}。

集合中元素的个数

⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如a={a,b,c},则card(a)=3。

⑶、一般地,对任意两个集合a、b,有

card(a)+card(b)=card(aub)+card(anb)

我的问题:

1、学校里开运动会,设a={x|x是参加一百米跑的同学},b={x|x是参加二百米跑的同学},c={x|x是参加四百米跑的同学}。学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项,请你用集合的运算说明这项规定,并解释以下集合运算的含义。⑴、aub;⑵、anb。

2、在平面直角坐标系中,集合c={(x,y)|y=x}表示直线y=x,从这个角度看,集合d={(x,y)|方程组:2x-y=1,x+4y=5}表示什么?集合c、d之间有什么关系?请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。

3、已知集合a={x|1≤x≤3},b={x|(x-1)(x-a)=0}。试判断b是不是a的子集?是否存在实数a使a=b成立?

4、对于有限集合a、b、c,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢?

5、无限集合a={1,2,3,4,…,n,…},b={2,4,6,8,…,2n,…},你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?

2、常量与变量

⑴、变量的定义:我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称之为变量。注:在过程中还有一种量,它虽然是变化的,但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的,我们则把它看作常量。

⑵、变量的表示:如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示

闭区间a≤x≤b[a,b]

开区间a<x<b(a,b)

半开区间a<x≤b或a≤x<b(a,b]或[a,b)

以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间:

[a,+∞):表示不小于a的实数的全体,也可记为:a≤x<+∞;

(-∞,

状态提示: 47.第 47 章
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