47.第 47 章(1/2)

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母a、b、c、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合a中的元素，就说a属于a，记作：a∈a，否则就说a不属于a，记作：a a。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作n

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作n+或n+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作r。

集合的表示方法

⑵ 、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合a、b，如果集合a中的任意一个元素都是集合b的元素，我们就说a、b有包含关系，称集合a为集合b的子集，记作a b（或b a）。。

⑵相等：如何集合a是集合b的子集，且集合b是集合a的子集，此时集合a中的元素与集合b中的元素完全一样，因此集合a与集合b相等，记作a＝b。

⑶、真子集：如何集合a是集合b的子集，但存在一个元素属于b但不属于a，我们称集合a是集合b的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：

①、任何一个集合是它本身的子集。即a

②、对于集合a、b、c，如果a是b的子集，b是c的子集，则a是c的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集：一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素组成的集合称为a与b的并集。记作aub。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）

即aub＝｛x|x∈a，或x∈b｝。

⑵、交集：一般地，由所有属于集合a且属于集合b的元素组成的集合称为a与b的交集。记作anb。

即anb＝｛x|x∈a，且x∈b｝。

⑶、补集：

①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作u。

②补集：对于一个集合a，由全集u中不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集。简称为集合a的补集，记作cua。

即cua＝｛x|x∈u，且x a｝。

集合中元素的个数

⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如a＝｛a,b,c｝，则card(a)=3。

⑶、一般地，对任意两个集合a、b，有

card(a)+card(b)=card(aub)+card(anb)

我的问题：

1、学校里开运动会，设a＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，b＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，c＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、aub；⑵、anb。

2、在平面直角坐标系中，集合c＝{(x,y)|y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合d={(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合c、d之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。

3、已知集合a={x|1≤x≤3}，b＝{x|(x-1)(x-a)=0}。试判断b是不是a的子集？是否存在实数a使a＝b成立？

4、对于有限集合a、b、c，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？

5、无限集合a＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，b＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？

2、常量与变量

⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。

⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示

闭区间a≤x≤b[a，b]

开区间a＜x＜b（a，b）

半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：

[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；

(-∞，